Задача 18. Решите систему неравенств \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{4^x} \leqslant 9 \cdot {2^x} + 22\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {{{\log }_3}\left( {{x^2}-x-2} \right) \leqslant 1 + {{\log }_3}\dfrac{{x + 1}}{{x-2}}} \end{array}} \right.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {2;\,{{\log }_2}11} \right].\)
Решение
Решим первое неравенство: \({4^x}-9 \cdot {2^x}-22 \le 0.\)
Пусть \({2^x} = t,\) тогда:
\({t^2}-9t-22 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,-2 \le t \le 11.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(-2 \le {2^x} \le 11\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{2^x} \le {2^{{{\log }_2}11}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \le {\log _2}11.\)
Решим второе неравенство:
\({\log _3}\left( {{x^2}-x-2} \right)-{\log _3}\dfrac{{x + 1}}{{x-2}} \le 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _3}\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right)-{\log _3}\dfrac{{x + 1}}{{x-2}} \le 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-2} \right)}}{{x + 1}} \le {\log _3}3,\\\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x-2} \right)^2} < 3,\\\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in \left[ {2-\sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right],\\x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {2;\infty } \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {2;2 + \sqrt 3 } \right].\)
Найдём общее решение исходной системы. Так как:
\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{2}{\log _2}2 = {\log _2}\sqrt {128} > {\log _2}\sqrt {121} = {\log _2}11\), то \({\log _2}11 < \dfrac{7}{2} < 2 + \sqrt 3 .\)
Таким образом, решение исходной системы неравенств: \(x \in \left( {2;{{\log }_2}11} \right].\)
Ответ: \(\left( {2;{{\log }_2}11} \right].\)