Решим первое неравенство. Запишем ОДЗ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{x-2}} > 0,\\6-x > 0,\\6-x \ne 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( {2;6} \right) \cup \left( {6;\infty } \right),\\x \in \left( {-\infty ;6} \right),\\x \ne 5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {2;5} \right) \cup \left( {5;6} \right).\)
\({\log _{6-x}}\dfrac{{{{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{x-2}} > 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _{6-x}}\dfrac{{{{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{x-2}} > 2{\log _{6-x}}\left( {6-x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _{6-x}}{\left( {6-x} \right)^2}-{\log _{6-x}}\dfrac{{{{\left( {6-x} \right)}^2}}}{{x-2}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _{6-x}}\dfrac{{\left( {x-2} \right){{\left( {6-x} \right)}^2}}}{{{{\left( {6-x} \right)}^2}}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _{6-x}}\left( {x-2} \right) < {\log _{6-x}}1.\)
Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства.
\({\log _{6-x}}\left( {x-2} \right) < {\log _{6-x}}1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {6-x-1} \right)\left( {x-2-1} \right) < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {x-5} \right)\left( {x-3} \right) > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;3} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением первого неравенства является: \(x\, \in \,\left( {2;3} \right) \cup \left( {5;6} \right).\)
Решим второе неравенство:
\(\dfrac{{{x^2}-x-14}}{{x-4}} + \dfrac{{{x^2}-8x + 3}}{{x-8}} \le 2x + 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-4x + 3x-12-2}}{{x-4}} + \dfrac{{{x^2}-8x + 3}}{{x-8}} \le 2x + 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{x\left( {x-4} \right)}}{{x-4}} + \dfrac{{3\left( {x-4} \right)}}{{x-4}}-\dfrac{2}{{x-4}} + \dfrac{{x\left( {x-8} \right)}}{{x-8}} + \dfrac{3}{{x-8}} \le 2x + 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x + 3-\dfrac{2}{{x-4}} + x + \dfrac{3}{{x-8}} \le 2x + 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{3}{{x-8}}-\dfrac{2}{{x-4}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{3x-12-2x + 16}}{{\left( {x-8} \right)\left( {x-4} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{x + 4}}{{\left( {x-8} \right)\left( {x-4} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left( {4;8} \right).\)
Найдём общее решение исходной системы:
Таким образом, решение исходной системы неравенств: \(x \in \left( {5;6} \right).\)
Ответ: \(\left( {5;6} \right).\)