Решим первое неравенство: \({9^x}-10 \cdot {3^x} + 9 < 0.\)
Пусть \({3^x} = t.\) Тогда:
\({t^2}-10t + 9 < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 < t < 9.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(1 < {3^x} < 9\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{3^0} < {3^x} < {3^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,0 < x < 2.\)
Решим второе неравенство:
\(\dfrac{2}{x}-2-\dfrac{3}{{x-1}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2x-2-2{x^2} + 2x-3x}}{{x\left( {x-1} \right)}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{2{x^2}-x + 2}}{{x\left( {x-1} \right)}} > 0.\)
Следовательно, решение второго неравенства \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)
Найдём общее решение:
Таким образом, решение исходной системы неравенств: \(x\, \in \,\left( {1;2} \right).\)
Ответ: \(\,\left( {1;2} \right).\)