Решим первое неравенство:
\({3^{x + 2}} + {9^{x + 1}}-810 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,9 \cdot {3^x} + 9 \cdot {3^{2x}}-810 > \left| {:9\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{3^{2x}} + {3^x}-90 > 0.} \right.\)
Пусть \({3^x} = t,\) тогда:
\({t^2} + t-90 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -10,}\\{t > 9.\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} < -10,}\\{{3^x} > 9\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x > 2.} \right.\)
Решим второе неравенство: \(\log _3^2x + 4{\log _3}x + 3 > 0.\)
Пусть \({\log _3}x = b,\) тогда:
\({b^2} + 4b + 3 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < -3,}\\{b > -1.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < -3,}\\{{{\log }_3}x > -1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{{27}},}\\{x > \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left( {0;\dfrac{1}{{27}}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right).\)
Найдём общее решение:
Таким образом, решение исходной системы неравенств: \(x\, \in \,\left( {2;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {2;\infty } \right).\)