Решим первое неравенство: \(9 \cdot {9^x}-28 \cdot {3^x} + 3 \ge 0.\)
Пусть \({3^x} = t.\) Тогда:
\(9{t^2}-28t + 3 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}t \le \dfrac{1}{9},\\t \ge 3.\end{array} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ \begin{array}{l}{3^x} \le \dfrac{1}{9},\\{3^x} \ge 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}{3^x} \le {3^{-2}},\\{3^x} \ge {3^1}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x \le -2,\\x \ge 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \,\left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)
Решим второе неравенство:
\({\log _2}\left( {{x^2}-2x} \right) \le 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{\log _2}\left( {{x^2}-2x} \right) \le {\log _2}8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x \le 8,}\\{{x^2}-2x > 0\,}\end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}-2 \le x \le 4,\\\left[ \begin{array}{l}x < 0,\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left[ {-2;0} \right) \cup \,\left( {2;4} \right].\)
Найдём общее решение:
Таким образом, решение исходной системы неравенств: \(x \in \left\{ {-2} \right\} \cup \,\left( {2;4} \right].\)
Ответ: \(\left\{ {-2} \right\} \cup \,\left( {2;4} \right].\)