Задача 10. На рисунке изображены графики функций вида \(f\left( x \right) = k\,x + b.\) которые пересекаются в точке А. Найдите абсциссу точки А.
ОТВЕТ: 13.
Уравнение прямой \(y = kx + b.\)
Первая прямая проходит через точки \(\left( { — 3;3} \right)\) и \(\left( { — 1; — 2} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = — 3k + b}\\{ — 2 = — k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(5 = — 2k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — \frac{5}{2}.\)
Тогда: \(3 = — 3 \cdot \left( { — \frac{5}{2}} \right) + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = — \frac{9}{2}\) и уравнение первой прямой имеет вид: \(y = — \frac{5}{2}x — \frac{9}{2}.\)
Вторая прямая проходит через точки \(\left( {3;3} \right)\) и \(\left( {4; — 1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 3k + b}\\{ — 1 = 4k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(4 = — k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 4\)
Тогда: \(3 = 3 \cdot \left( { — 4} \right) + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 15\) и уравнение второй прямой имеет вид: \(y = — 4x + 15.\)
Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = — \frac{5}{2}x — \frac{9}{2}}\\{y = — 4x + 15}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — \frac{5}{2}x — \frac{9}{2} = — 4x + 15\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}x = \frac{{39}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 13.} \right.\)
Следовательно, абсцисса точки пересечения \(x = 13\).
Ответ: 13.