Задача 33. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c\) и \(g\left( x \right) = k\,x,\) пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

 

Решение

Парабола проходит через точки \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;0} \right)\) и \(\left( {2;2} \right)\). Следовательно:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = c,\\0 = a + b + c,\\2 = 4a + 2b + c\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}c = 0,\\a + b = 0,\\4a + 2b = 2.\end{array} \right.\)

Из второго уравнения \(b = -a.\) Подставив в третье уравнение, получим:

\(4a-2a = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = 1.\) Тогда \(b = -1\) и уравнение параболы будет иметь вид: \(f\left( x \right) = {x^2}-x.\)

Прямая проходит через точку \(\left( {1;3} \right)\). Следовательно: \(3 = k \cdot 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = 3\) и уравнение прямой будет иметь вид: \(g\left( x \right) = 3x.\)

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы \(f\left( x \right) = {x^2}-x\) и прямой \(g\left( x \right) = 3x\) необходимо решить систему уравнений:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\y = {x^2}-x\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\3x = {x^2}-x\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\{x^2}-4x = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\x\left( {x-4} \right) = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x-4 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\y = 0,\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 4,\\y = 12.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Следовательно, точки пересечения прямой и параболы имеют координаты \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {4;12} \right)\) и абсцисса точки B равна 4.

Ответ: 4.