Задача 34. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c\) и \(g\left( x \right) = k\,x,\) пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

 

Решение

Парабола проходит через точки \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {2;-4} \right)\) и \(\left( {4;0} \right)\). Следовательно:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = c,\\-4 = 4a + 2b + c,\\0 = 16a + 4b + c\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}c = 0,\\4a + 2b = -4,\\16a + 4b = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}c = 0,\\2a + b = -2,\\4a + b = 0.\end{array} \right.\)

Из второго уравнения \(b = -2a-2.\) Подставив в третье уравнение, получим:

\(4a-2a-2\, = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = 1.\) Тогда \(b = -2 \cdot 1-2 = -4\) и уравнение параболы будет иметь вид: \(f\left( x \right) = {x^2}-4x.\)

Прямая проходит через точку \(\left( {1;3} \right)\). Следовательно: \(3 = k \cdot 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = 3\) и уравнение прямой будет иметь вид: \(g\left( x \right) = 3x.\)

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы \(f\left( x \right) = {x^2}-4x\) и прямой \(g\left( x \right) = 3x\) необходимо решить систему уравнений:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\y = {x^2}-4x\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\3x = {x^2}-4x\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\{x^2}-7x = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\x\left( {x-7} \right) = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x-7 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}y = 3x,\\\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\x = 7\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0,\\y = 0,\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 7,\\y = 21.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Следовательно, точки пересечения прямой и параболы имеют координаты \(A\left( {0;0} \right)\), \(B\left( {7;21} \right)\) и абсцисса точки B равна 7.

Ответ: 7.