Задача 22. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{{k\,x + a}}{{x + b}}.\) Найдите a.
ОТВЕТ: — 4.
Преобразуем данную функцию \(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}}\) следующим образом:
\(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}} = \frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = \frac{{k\left( {x + b} \right)}}{{x + b}} + \frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + \frac{{a — kb}}{{x + b}}\)
Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 2\), то \(k = 2\).
Так как график функции имеет вертикальную асимптоту \(x = 3\), то \(b = — 3\).
Следовательно: \(f\left( x \right) = 2 + \frac{{a + 6}}{{x — 3}}.\)
Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку \(\left( {5;3} \right)\).
Тогда: \(3 = 2 + \frac{{a + 6}}{{5 — 3}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{a + 6}}{2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 4.\,\,\,\)
Ответ: – 4.