Задача 24. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{{k\,x + a}}{{x + b}}.\) Найдите a.
ОТВЕТ: — 5.
Преобразуем данную функцию \(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}}\) следующим образом:
\(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}} = \frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = \frac{{k\left( {x + b} \right)}}{{x + b}} + \frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + \frac{{a — kb}}{{x + b}}\)
Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = — 1\), то \(k = — 1\).
Так как график функции имеет вертикальную асимптоту \(x = — 2\), то \(b = 2\).
Следовательно: \(f\left( x \right) = — 1 + \frac{{a + 2}}{{x + 2}}.\)
Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку \(\left( { — 1; — 4} \right)\).
Тогда: \( — 4 = — 1 + \frac{{a + 2}}{{ — 1 + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a + 2 = — 3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 5.\,\,\,\)
Ответ: – 5.