Задача 30. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}.\)  Найдите значение x, при котором  \(f\left( x \right) = 0,125.\)

Ответ

ОТВЕТ: — 5.

 

Решение

График показательной функции  \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}\) проходит через точки \(\left( {3;2} \right)\) и \(\left( {5;4} \right)\).

Следовательно:    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = {a^{3 + b}}}\\{4 = {a^{5 + b}}}\end{array}} \right.\)

Разделим второе уравнение на первое:   \(\frac{{{a^{5 + b}}}}{{{a^{3 + b}}}} = \frac{4}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \sqrt 2 .\)

Тогда: \({\sqrt 2 ^{\,3 + b}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sqrt 2 ^{\,3 + b}} = {\sqrt 2 ^{\,2}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,3 + b = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b =  — 1.\)

Таким образом:    \(f\left( x \right) = {\sqrt 2 ^{\,x — 1}}\)    и    \({\sqrt 2 ^{\,x — 1}} = \frac{1}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{2^{\frac{{x — 1}}{2}}} = {2^{ — 3}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  — 5.\)

Ответ: – 5.