Задача 12. Найдите наибольшее значение функции   \(y = {x^3} + 10{x^2} + 25x + 3\)   на отрезке  \(\left[ { — 12;\; — 3} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:     \(y’ = 3{x^2} + 20x + 25.\)

Найдём нули производной:

\(3{x^2} + 20x + 25 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} =  — 5,\,\,\,\,\,{x_2} =  — \frac{5}{3}.\)

Значение  \({x_2} =  — \frac{5}{3} \notin \left[ { — 12; — 3} \right].\)  Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ { — 12; — 3} \right]\), то есть в точках  \(x =  — 12,\,\,\,\,x =  — 3\)  или в точке  \(x =  — 5:\)

\(y\left( { — 12} \right) = {\left( { — 12} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 12} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 12} \right) + 3 =  — 585;\)

\(y\left( { — 3} \right) = {\left( { — 3} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 3} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 3} \right) + 3 =  — 9;\)

\(y\left( { — 5} \right) = {\left( { — 5} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 5} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 5} \right) + 3 = 3.\)

Следовательно, наибольшее значение функции равно  3.

Ответ:  3.