Задача 12. Найдите наибольшее значение функции \(y = {x^3} + 10{x^2} + 25x + 3\) на отрезке \(\left[ { — 12;\; — 3} \right]\)
ОТВЕТ: 3.
Область определения функции: \(x \in R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} + 20x + 25.\) Найдём нули производной: \(3{x^2} + 20x + 25 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 5,\,\,\,\,\,{x_2} = — \frac{5}{3}.\) Значение \({x_2} = — \frac{5}{3} \notin \left[ { — 12; — 3} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 12; — 3} \right]\), то есть в точках \(x = — 12,\,\,\,\,x = — 3\) или в точке \(x = — 5:\) \(y\left( { — 12} \right) = {\left( { — 12} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 12} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 12} \right) + 3 = — 585;\) \(y\left( { — 3} \right) = {\left( { — 3} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 3} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 3} \right) + 3 = — 9;\) \(y\left( { — 5} \right) = {\left( { — 5} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 5} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 5} \right) + 3 = 3.\) Следовательно, наибольшее значение функции равно 3. Ответ: 3.