Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} + 20x + 25.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} + 20x + 25 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 5,\,\,\,\,\,{x_2} = — \dfrac{5}{3}.\)
Значение \({x_2} = — \dfrac{5}{3} \notin \left[ { — 12; — 3} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 12; — 3} \right]\), то есть в точках \(x = — 12,\,\,\,\,x = — 3\) или в точке \(x = — 5:\)
\(y\left( { — 12} \right) = {\left( { — 12} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 12} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 12} \right) + 3 = — 585;\)
\(y\left( { — 3} \right) = {\left( { — 3} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 3} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 3} \right) + 3 = — 9;\)
\(y\left( { — 5} \right) = {\left( { — 5} \right)^3} + 10 \cdot {\left( { — 5} \right)^2} + 25 \cdot \left( { — 5} \right) + 3 = 3.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 3.
Ответ: 3.