Задача 15. Найдите наименьшее значение функции  \(y = {x^3} — 19,5{x^2} + 90x + 22\) на отрезке   \(\left[ {8;\;13} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 28.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:    \(y’ = 3{x^2} — 39x + 90.\)

Найдём нули производной:

\(3{x^2} — 39x + 90 = 0\left| {:3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 13x + 30 = 0} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 3,\,\,\,\,\,{x_2} = 10.\)

Значение  \({x_1} = 3 \notin \left[ {8;13} \right].\)  Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {8;13} \right]\) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {8;13} \right]\) будет в точке \(x = 10\).

\(y\left( {10} \right) = {10^3} — 19,5 \cdot {10^2} + 90 \cdot 10 + 22 =  — 28.\)

Ответ:  – 28.