Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 39x + 90.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} — 39x + 90 = 0\left| {:3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 13x + 30 = 0} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 3,\,\,\,\,\,{x_2} = 10.\)
Значение \({x_1} = 3 \notin \left[ {8;13} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {8;13} \right]\) и ее поведение:
Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {8;13} \right]\) будет в точке \(x = 10\).
\(y\left( {10} \right) = {10^3} — 19,5 \cdot {10^2} + 90 \cdot 10 + 22 = — 28.\)
Ответ: – 28.