Задача 16. Найдите наибольшее значение функции \(y = {x^3} — {x^2} — 5x + 24\) на отрезке \(\left[ { — 8;\;3} \right]\)
Область определения функции: \(x \in R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 2x — 5.\) Найдём нули производной: \(3{x^2} — 2x — 5 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 1,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{5}{3}.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 8;3} \right]\) и ее поведение: Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ { — 8;3} \right]\) будет либо в точке \(x = — 1\), либо в точке \(x = 3\). \(y\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1} \right)^3} — {\left( { — 1} \right)^2} — 5 \cdot \left( { — 1} \right) + 24 = 27;\) \(y\left( 3 \right) = {3^3} — {3^2} — 5 \cdot 3 + 24 = 27.\) Ответ: 27.