Задача 23. Найдите наименьшее значение функции    \(y = 9{x^2} — {x^3}\)   на отрезке \(\left[ { — 1;\;5} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 0.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:    \(y’ = 18x — 3{x^2}.\)

Найдём нули производной:

\(18x — 3{x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)

Значение  \({x_2} = 6 \notin \left[ { — 1;5} \right].\)  Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ { — 1;5} \right]\), то есть в точках  \(x =  — 1,\,\,\,\,x = 5\)  или в точке  \(x = 0:\)

\(y\left( { — 1} \right) = 9 \cdot {\left( { — 1} \right)^2} — {\left( { — 1} \right)^3} = 10;\)

\(y\left( 5 \right) = 9 \cdot {5^2} — {5^3} = 100;\)

\(y\left( 0 \right) = 0.\)

Следовательно, наименьшее значение функции равно  0.

Ответ:  0.