Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 18x — 3{x^2}.\)
Найдём нули производной:
\(18x — 3{x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)
Значение \({x_2} = 6 \notin \left[ { — 1;5} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 1;5} \right]\), то есть в точках \(x = — 1,\,\,\,\,x = 5\) или в точке \(x = 0:\)
\(y\left( { — 1} \right) = 9 \cdot {\left( { — 1} \right)^2} — {\left( { — 1} \right)^3} = 10;\)
\(y\left( 5 \right) = 9 \cdot {5^2} — {5^3} = 100;\)
\(y\left( 0 \right) = 0.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно 0.
Ответ: 0.