Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = {x^2} — 9.\)
Найдём нули производной:
\({x^2} — 9 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 3,\,\,\,\,\,{x_2} = 3.\)
Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 3;3} \right]\), то есть в точках \(x = — 3,\,\,\,\,x = 3\):
\(y\left( { — 3} \right) = \frac{{{{\left( { — 3} \right)}^3}}}{3} — 9 \cdot \left( { — 3} \right) — 7 = 11;\)
\(y\left( 3 \right) = \frac{{{3^3}}}{3} — 9 \cdot 3 — 7 = — 25.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 11.
Ответ: 11.