Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\,\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \dfrac{3}{2}\sqrt x — 3.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{3}{2}\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 4.\)
Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\) или \(x = 4\):
\(y\left( 1 \right) = {1^{\frac{3}{2}}} — 3 \cdot 1 + 1 = 1 — 3 + 1 = — 1;\)
\(y\left( 9 \right) = {9^{\frac{3}{2}}} — 3 \cdot 9 + 1 = {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} — 27 + 1 = {3^3} — 26 = 1;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^{\frac{3}{2}}} — 3 \cdot 4 + 1 = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} — 12 + 1 = {2^3} — 11 = — 3.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно – 3.
Ответ: – 3.