Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\,\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \sqrt x — 3.\)
Найдём нули производной:
\(\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 9.\)
Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\):
\(y\left( 1 \right) = \frac{2}{3} \cdot {1^{\frac{3}{2}}} — 3 \cdot 1 + 1 = \frac{2}{3} — 3 + 1 = — \frac{4}{3};\)
\(y\left( 9 \right) = \frac{2}{3} \cdot {9^{\frac{3}{2}}} — 3 \cdot 9 + 1 = \frac{2}{3} \cdot {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} — 27 + 1 = \frac{2}{3} \cdot {3^3} — 26 = — 8.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно – 8.
Ответ: – 8.