Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\,\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3 — 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 3 — 3\sqrt x .\)
Найдём нули производной:
\(3 — 3\sqrt x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 1.\)
Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {0;4} \right]\), то есть в точках \(x = 0,\,\,\,\,x = 4\) или \(x = 1\):
\(y\left( 0 \right) = 3 \cdot 0 — 2 \cdot {0^{\frac{3}{2}}} = 0;\)
\(y\left( 4 \right) = 3 \cdot 4 — 2 \cdot {4^{\frac{3}{2}}} = 12 — 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = 12 — 2 \cdot {2^3} = — 4;\)
\(y\left( 1 \right) = 3 \cdot 1 — 2 \cdot {1^{\frac{3}{2}}} = 3 — 2 = 1.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 1.
Ответ: 1.