Задача 4. Найдите наибольшее значение функции    \(y = {x^3} — 3x + 4\)   на отрезке \(\left[ { — 2;\,0} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:   \(y’ = 3{x^2} — 3.\)

Найдём нули производной:

\(3{x^2} — 3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} =  — 1,\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)

Значение  \({x_2} = 1 \notin \left[ { — 2;0} \right].\)  Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ { — 2;0} \right]\), то есть в точках  \(x =  — 2,\,\,\,\,x = 0\)  или в точке  \(x =  — 1:\)

\(y\left( { — 2} \right) = {\left( { — 2} \right)^3} — 3 \cdot \left( { — 2} \right) + 4 = 2;\)

\(y\left( 0 \right) = {0^3} — 3 \cdot 0 + 4 = 4;\)

\(y\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1} \right)^3} — 3 \cdot \left( { — 1} \right) + 4 = 6.\)

Следовательно, наибольшее значение равно 6.

Ответ:  6.