Задача 4. Найдите наибольшее значение функции \(y = {x^3} — 3x + 4\) на отрезке \(\left[ { — 2;\,0} \right]\)
ОТВЕТ: 6.
Область определения функции: \(x \in R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 3.\) Найдём нули производной: \(3{x^2} — 3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 1,\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\) Значение \({x_2} = 1 \notin \left[ { — 2;0} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 2;0} \right]\), то есть в точках \(x = — 2,\,\,\,\,x = 0\) или в точке \(x = — 1:\) \(y\left( { — 2} \right) = {\left( { — 2} \right)^3} — 3 \cdot \left( { — 2} \right) + 4 = 2;\) \(y\left( 0 \right) = {0^3} — 3 \cdot 0 + 4 = 4;\) \(y\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1} \right)^3} — 3 \cdot \left( { — 1} \right) + 4 = 6.\) Следовательно, наибольшее значение равно 6. Ответ: 6.