Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 3.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} — 3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 1,\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)
Значение \({x_2} = 1 \notin \left[ { — 2;0} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 2;0} \right]\), то есть в точках \(x = — 2,\,\,\,\,x = 0\) или в точке \(x = — 1:\)
\(y\left( { — 2} \right) = {\left( { — 2} \right)^3} — 3 \cdot \left( { — 2} \right) + 4 = 2;\)
\(y\left( 0 \right) = {0^3} — 3 \cdot 0 + 4 = 4;\)
\(y\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1} \right)^3} — 3 \cdot \left( { — 1} \right) + 4 = 6.\)
Следовательно, наибольшее значение равно 6.
Ответ: 6.