Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = — \,\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 3 = — \sqrt x + 3.\)
Найдём нули производной:
\( — \sqrt x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 9.\)
Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1\) или \(x = 9\):
\(y\left( 1 \right) = — \,\frac{2}{3} \cdot {1^{\frac{3}{2}}} + 3 \cdot 1 + 1 = 4 — \frac{2}{3} = \frac{{10}}{3};\)
\(y\left( 9 \right) = — \,\frac{2}{3} \cdot {9^{\frac{3}{2}}} + 3 \cdot 9 + 1 = — \frac{2}{3} \cdot {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} + 28 = — \frac{2}{3} \cdot {3^3} + 28 = 10.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 10.
Ответ: 10.