Задача 41. Найдите точку минимума функции \(y = x\sqrt x — 3x + 1\)
Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\) Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = x \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = {x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 1.\) Найдём производную функции: \(y’ = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \frac{3}{2}\sqrt x — 3.\) Найдём нули производной: \(\frac{3}{2}\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\) Определим знаки производной и её поведение: Следовательно, точка минимума \(x = 4.\) Ответ: 4.Решение
