ЕГЭ профильный уровень. №12 Степенные, иррациональные и дробные функции. Задача 41

ОТВЕТ: 4.

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = x \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)    Тогда:  \(y = {x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 1.\)

Найдём производную функции:    \(y’ = \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \dfrac{3}{2}\sqrt x  — 3.\)

Найдём нули производной:

\(\dfrac{3}{2}\sqrt x  — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума  \(x = 4.\)

Ответ:  4.