Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = {x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 1.\)
Найдём производную функции: \(y’ = \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \dfrac{3}{2}\sqrt x — 3.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{3}{2}\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\)
Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\) или \(x = 4\):
\(y\left( 1 \right) = 1 \cdot \sqrt 1 — 3 \cdot 1 + 1 = — 1;\)
\(y\left( 9 \right) = 9 \cdot \sqrt 9 — 3 \cdot 9 + 1 = 1;\)
\(y\left( 4 \right) = 4 \cdot \sqrt 4 — 3 \cdot 4 + 1 = — 3.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно – 3.
Ответ: – 3.