Задача 42. Найдите наименьшее значение функции \(y = x\sqrt x — 3x + 1\) на отрезке \(\left[ {1;\;9} \right]\)
ОТВЕТ: — 3.
Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\) Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = {x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 1.\) Найдём производную функции: \(y’ = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \frac{3}{2}\sqrt x — 3.\) Найдём нули производной: \(\frac{3}{2}\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\) или \(x = 4\): \(y\left( 1 \right) = 1 \cdot \sqrt 1 — 3 \cdot 1 + 1 = — 1;\) \(y\left( 9 \right) = 9 \cdot \sqrt 9 — 3 \cdot 9 + 1 = 1;\) \(y\left( 4 \right) = 4 \cdot \sqrt 4 — 3 \cdot 4 + 1 = — 3.\) Следовательно, наименьшее значение функции равно – 3. Ответ: – 3.