Задача 43. Найдите точку минимума функции    \(y = \frac{1}{3}x\sqrt x  — 9x + 59\)

Ответ

ОТВЕТ: 324.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)  Тогда:  \(y = \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 9x + 59.\)

Найдём производную функции:    \(y’ = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 9 = \frac{1}{2}\sqrt x  — 9.\)

Найдём нули производной:

\(\frac{1}{2} \ \sqrt x  — 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 18\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 324.\)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума  \(x = 324.\)

Ответ:  324.