Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = \dfrac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 9x + 59.\)
Найдём производную функции: \(y’ = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 9 = \dfrac{1}{2}\sqrt x — 9.\)
Найдём нули производной:
\(\dfrac{1}{2} \ \sqrt x — 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 18\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 324.\)
Определим знаки производной и её поведение:
Следовательно, точка минимума \(x = 324.\)
Ответ: 324.