Задача 43. Найдите точку минимума функции \(y = \frac{1}{3}x\sqrt x — 9x + 59\)
ОТВЕТ: 324.Ответ
Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\) Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 9x + 59.\) Найдём производную функции: \(y’ = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 9 = \frac{1}{2}\sqrt x — 9.\) Найдём нули производной: \(\frac{1}{2} \ \sqrt x — 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 18\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 324.\) Определим знаки производной и её поведение: Следовательно, точка минимума \(x = 324.\) Ответ: 324.Решение