Задача 44. Найдите наименьшее значение функции  \(y = \frac{2}{3}x\sqrt x  — 3x + 1\) на отрезке   \(\left[ {1;\;9} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 8.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)  Тогда:  \(y = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 1.\)

Найдём производную функции:    \(y’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \sqrt x  — 3.\)

Найдём нули производной:

\(\sqrt x  — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)

Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках  \(x = 1\) или \(x = 9\):

\(y\left( 1 \right) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1  — 3 \cdot 1 + 1 = \frac{2}{3} — 2 =  — \frac{4}{3};\)

\(y\left( 9 \right) = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt 9  — 3 \cdot 9 + 1 = 18 — 27 + 2 =  — 8.\)

Следовательно, наименьшее значение функции равно  – 8.

Ответ:  – 8.