Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 1.\)
Найдём производную функции: \(y’ = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = \sqrt x — 3.\)
Найдём нули производной:
\(\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)
Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1\) или \(x = 9\):
\(y\left( 1 \right) = \dfrac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1 — 3 \cdot 1 + 1 = \dfrac{2}{3} — 2 = — \dfrac{4}{3};\)
\(y\left( 9 \right) = \dfrac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt 9 — 3 \cdot 9 + 1 = 18 — 27 + 1 = — 8.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно – 8.
Ответ: – 8.