ЕГЭ профильный уровень. №12 Степенные, иррациональные и дробные функции. Задача 45

ОТВЕТ: 4.

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)   Тогда:  \(y = 7 + 6x — 2 \cdot {x^{\frac{3}{2}}}.\)

Найдём производную функции:    \(y’ = 6 — 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 6 — 3\sqrt x .\)

Найдём нули производной:

\(6 — 3\sqrt x  = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума  \(x = 4.\)

Ответ:  4.