Задача 45. Найдите точку максимума функции \(y = 7 + 6x — 2x\sqrt x \)
Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\) Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = 7 + 6x — 2 \cdot {x^{\frac{3}{2}}}.\) Найдём производную функции: \(y’ = 6 — 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 6 — 3\sqrt x .\) Найдём нули производной: \(6 — 3\sqrt x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 4.\) Определим знаки производной и её поведение: Следовательно, точка максимума \(x = 4.\) Ответ: 4.Решение
