Задача 46. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 5 + 6x — x\sqrt x \)    на отрезке   \(\left[ {14;\;23} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 37.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)    Тогда:  \(y = 5 + 6x — {x^{\frac{3}{2}}}.\)

Найдём производную функции:    \(y’ = 6 — \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 6 — \frac{3}{2}\sqrt x .\)

Найдём нули производной:

\(6 — \frac{3}{2}\sqrt x  = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 16.\)

Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {14;23} \right]\) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {14;23} \right]\) будет в точке \(x = 16\).

\(y\left( {16} \right) = 5 + 6 \cdot 16 — 16 \cdot \sqrt {16}  = 37.\)

Ответ:  37.