Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = 5 + 6x — {x^{\frac{3}{2}}}.\)
Найдём производную функции: \(y’ = 6 — \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = 6 — \dfrac{3}{2}\sqrt x .\)
Найдём нули производной:
\(6 — \dfrac{3}{2}\sqrt x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 16.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {14;23} \right]\) и ее поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {14;23} \right]\) будет в точке \(x = 16\).
\(y\left( {16} \right) = 5 + 6 \cdot 16 — 16 \cdot \sqrt {16} = 37.\)
Ответ: 37.