Задача 47. Найдите точку максимума функции    \(y =  — \frac{2}{3}x\sqrt x  + 3x + 1\)

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)   Тогда:  \(y =  — \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 3x + 1.\)

Найдём производную функции:   \(y’ =  — \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 3 =  — \sqrt x  + 3.\)

Найдём нули производной:

\( — \sqrt x  + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума  \(x = 9.\)

Ответ:  9.