Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = — \dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 3x + 1.\)
Найдём производную функции: \(y’ = — \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 3 = — \sqrt x + 3.\)
Найдём нули производной:
\( — \sqrt x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)
Определим знаки производной и её поведение:
Следовательно, точка максимума \(x = 9.\)
Ответ: 9.