Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)
Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = — \,\dfrac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 3x + 1.\)
Найдём производную функции: \(y’ = — \,\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 3 = — \sqrt x + 3.\)
Найдём нули производной:
\( — \sqrt x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)
Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1\) или \(x = 9\):
\(y\left( 1 \right) = — \dfrac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1 + 3 \cdot 1 + 1 = — \dfrac{2}{3} + 4 = \dfrac{{10}}{3};\)
\(y\left( 9 \right) = — \dfrac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt 9 + 3 \cdot 9 + 1 = — 18 + 27 + 1 = 10.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 10.
Ответ: 10.