Задача 48. Найдите наибольшее значение функции \(y = — \frac{2}{3}x\sqrt x + 3x + 1\) на отрезке \(\left[ {1;\;9} \right]\)
ОТВЕТ: 10.
Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\) Воспользуемся тем, что \(x\sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\) Тогда: \(y = — \,\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 3x + 1.\) Найдём производную функции: \(y’ = — \,\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 3 = — \sqrt x + 3.\) Найдём нули производной: \( — \sqrt x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1\) или \(x = 9\): \(y\left( 1 \right) = — \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1 + 3 \cdot 1 + 1 = — \frac{2}{3} + 4 = \frac{{10}}{3};\) \(y\left( 9 \right) = — \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt 9 + 3 \cdot 9 + 1 = — 18 + 27 + 1 = 10.\) Следовательно, наибольшее значение функции равно 10. Ответ: 10.