Задача 48. Найдите наибольшее значение функции    \(y =  — \frac{2}{3}x\sqrt x  + 3x + 1\)   на отрезке    \(\left[ {1;\;9} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Воспользуемся тем, что  \(x\sqrt x  = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{1 + \frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}.\)   Тогда:  \(y =  — \,\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 3x + 1.\)

Найдём производную функции:   \(y’ =  — \,\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} + 3 =  — \sqrt x  + 3.\)

Найдём нули производной:

\( — \sqrt x  + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  = 3\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 9.\)

Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках  \(x = 1\) или \(x = 9\):

\(y\left( 1 \right) =  — \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1  + 3 \cdot 1 + 1 =  — \frac{2}{3} + 4 = \frac{{10}}{3};\)

\(y\left( 9 \right) =  — \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt 9  + 3 \cdot 9 + 1 =  — 18 + 27 + 1 = 10.\)

Следовательно, наибольшее значение функции равно  10.

Ответ:  10.