Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = — \,\,\dfrac{{{{\left( {{x^2} + 289} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 289} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = — \,\dfrac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 289} \right)}}{{{x^2}}} = — \,\dfrac{{2{x^2} — {x^2} — 289}}{{{x^2}}} = \dfrac{{289 — {x^2}}}{{{x^2}}}.\)
\(289 — {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 17,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 17.\)
Определим знаки производной и её поведение:
Следовательно, точка максимума \(x = 17.\)
Ответ: 17.