Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = — \,\,\dfrac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 1} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = — \,\dfrac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}} = — \,\dfrac{{2{x^2} — {x^2} — 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{1 — {x^2}}}{{{x^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\(1 — {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 1,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)
Определим знаки производной и её поведение:
Следовательно, точка минимума \(x = — 1.\)
Ответ: –1.