Задача 51. Найдите наименьшее значение функции    \(y = \frac{{{x^2} + 25}}{x}\)     на отрезке \(\left[ {1;\;12} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Решение

Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Найдём производную заданной функции:

\(y’ = \,\frac{{{{\left( {{x^2} + 25} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 25} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = \frac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} — {x^2} — 25}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} — 25}}{{{x^2}}}.\)

Найдём нули производной:

\({x^2} — 25 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} =  — 5,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 5.\)

Значение  \({x_1} =  — 5 \notin \left[ {1;12} \right].\)  Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;12} \right]\), то есть в точках  \(x = 1,\,\,\,\,x = 12\) или \(x = 5\):

\(y\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 25}}{1} = 26;\)

\(y\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^2} + 25}}{{12}} = 12 + \frac{{25}}{{12}} = 14\frac{1}{{12}};\)

\(y\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 25}}{5} = 10.\)

Следовательно, наименьшее значение функции равно  10.

Ответ:  10.