Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \,\dfrac{{{{\left( {{x^2} + 25} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 25} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2{x^2} — {x^2} — 25}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} — 25}}{{{x^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\({x^2} — 25 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 5,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 5.\)
Значение \({x_1} = — 5 \notin \left[ {1;12} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;12} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 12\) или \(x = 5\):
\(y\left( 1 \right) = \dfrac{{{1^2} + 25}}{1} = 26;\)
\(y\left( {12} \right) = \dfrac{{{{12}^2} + 25}}{{12}} = 12 + \dfrac{{25}}{{12}} = 14\dfrac{1}{{12}};\)
\(y\left( 5 \right) = \dfrac{{{5^2} + 25}}{5} = 10.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно 10.
Ответ: 10.