Задача 52. Найдите наибольшее значение функции \(y = \frac{{{x^2} + 144}}{x}\) на отрезке \(\left[ { — 19;\; — 1} \right]\)
ОТВЕТ: — 24.
Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = \,\frac{{{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 144} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = \frac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 144} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} — {x^2} — 144}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} — 144}}{{{x^2}}}.\) Найдём нули производной: \({x^2} — 144 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 12,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 12.\) Значение \(x = 12 \notin \left[ { — 19; — 1} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 19; — 1} \right]\), то есть в точках \(x = — 19,\,\,\,\,x = — 1\) или \(x = — 12\): \(y\left( { — 19} \right) = \frac{{{{\left( { — 19} \right)}^2} + 144}}{{ — 19}} = — 19 — \frac{{144}}{{19}} = — 19 — 7\frac{{11}}{{19}} = — 26\frac{{11}}{{19}};\) \(y\left( { — 1} \right) = \frac{{{{\left( { — 1} \right)}^2} + 144}}{{ — 1}} = — 145;\) \(y\left( { — 12} \right) = \frac{{{{\left( { — 12} \right)}^2} + 144}}{{ — 12}} = — 12 — 12 = — 24.\) Следовательно, наибольшее значение функции равно – 24. Ответ: – 24.