Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \,\dfrac{{{{\left( {{x^2} + 144} \right)}^\prime } \cdot x — \left( {{x^2} + 144} \right) \cdot x’}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2x \cdot x — \left( {{x^2} + 144} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2{x^2} — {x^2} — 144}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} — 144}}{{{x^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\({x^2} — 144 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 12,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 12.\)
Значение \(x = 12 \notin \left[ { — 19; — 1} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 19; — 1} \right]\), то есть в точках \(x = — 19,\,\,\,\,x = — 1\) или \(x = — 12\):
\(y\left( { — 19} \right) = \dfrac{{{{\left( { — 19} \right)}^2} + 144}}{{ — 19}} = — 19 — \dfrac{{144}}{{19}} = — 19 — 7\dfrac{{11}}{{19}} = — 26\dfrac{{11}}{{19}};\)
\(y\left( { — 1} \right) = \dfrac{{{{\left( { — 1} \right)}^2} + 144}}{{ — 1}} = — 145;\)
\(y\left( { — 12} \right) = \dfrac{{{{\left( { — 12} \right)}^2} + 144}}{{ — 12}} = — 12 — 12 = — 24.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно – 24.
Ответ: – 24.