Задача 56. Найдите наибольшее значение функции    \(y = 2x + \frac{{72}}{x} + 9\)   на отрезке   \(\left[ { — 18;\; — 0,5} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 15.

Решение

Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Найдём производную заданной функции:

\(y’ = {\left( {2x} \right)^\prime } + \frac{{72′ \cdot x — 72 \cdot x’}}{{{x^2}}} + {\left( 9 \right)^\prime } = 2 + \frac{{0 \cdot x — 72}}{{{x^2}}} = 2 — \frac{{72}}{{{x^2}}}.\)

Найдём нули производной:

\(2 — \frac{{72}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} — 72 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} =  — 6,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)

Значение  \({x_2} = 6 \notin \left[ { — 18; — 0,5} \right].\)  Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ { — 18; — 0,5} \right]\), то есть в точках  \(x =  — 18,\,\,\,\,x =  — 0,5\) или \(x =  — 6\):

\(y\left( { — 18} \right) = 2 \cdot \left( { — 18} \right) + \frac{{72}}{{ — 18}} + 9 =  — 36 — 4 + 9 =  — 31;\)

\(y\left( { — 0,5} \right) = 2 \cdot \left( { — 0,5} \right) + \frac{{72}}{{ — 0,5}} + 9 =  — 1 — 144 + 9 =  — 136;\)

\(y\left( { — 6} \right) = 2 \cdot \left( { — 6} \right) + \frac{{72}}{{ — 6}} + 9 =  — 12 — 12 + 9 =  — 15.\)

Следовательно, наибольшее значение функции равно  – 15.

Ответ:  – 15.