Задача 56. Найдите наибольшее значение функции \(y = 2x + \frac{{72}}{x} + 9\) на отрезке \(\left[ { — 18;\; — 0,5} \right]\)
ОТВЕТ: — 15.
Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = {\left( {2x} \right)^\prime } + \frac{{72′ \cdot x — 72 \cdot x’}}{{{x^2}}} + {\left( 9 \right)^\prime } = 2 + \frac{{0 \cdot x — 72}}{{{x^2}}} = 2 — \frac{{72}}{{{x^2}}}.\) Найдём нули производной: \(2 — \frac{{72}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} — 72 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 6,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\) Значение \({x_2} = 6 \notin \left[ { — 18; — 0,5} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 18; — 0,5} \right]\), то есть в точках \(x = — 18,\,\,\,\,x = — 0,5\) или \(x = — 6\): \(y\left( { — 18} \right) = 2 \cdot \left( { — 18} \right) + \frac{{72}}{{ — 18}} + 9 = — 36 — 4 + 9 = — 31;\) \(y\left( { — 0,5} \right) = 2 \cdot \left( { — 0,5} \right) + \frac{{72}}{{ — 0,5}} + 9 = — 1 — 144 + 9 = — 136;\) \(y\left( { — 6} \right) = 2 \cdot \left( { — 6} \right) + \frac{{72}}{{ — 6}} + 9 = — 12 — 12 + 9 = — 15.\) Следовательно, наибольшее значение функции равно – 15. Ответ: – 15.