Задача 61. Найдите наименьшее значение функции \(y = {\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 5} \right) — 1\) на отрезке \(\left[ { — 4;\; — 1} \right]\)
ОТВЕТ: — 1.
Область определения функции: \(x \in \,\,R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = {\left( {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right)^\prime }\left( {x + 5} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {x + 5} \right)^\prime } — 1′ = 2\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2} = \) \( = \left( {x + 3} \right)\left( {2\left( {x + 5} \right) + x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2x + 10 + x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {3x + 13} \right).\) Найдём нули производной: \(\left( {x + 3} \right)\left( {3x + 13} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 3,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — \frac{{13}}{3}.\) Значение \({x_2} = — \frac{{13}}{3} \notin \left[ { — 4; — 1} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 4; — 1} \right]\), то есть в точках \(x = — 4,\,\,\,\,x = — 1\) или \(x = — 3\): \(y\left( { — 4} \right) = {\left( { — 4 + 3} \right)^2} \cdot \left( { — 4 + 5} \right) — 1 = 1 — 1 = 0;\) \(y\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1 + 3} \right)^2} \cdot \left( { — 1 + 5} \right) — 1 = 16 — 1 = 15;\) \(y\left( { — 3} \right) = {\left( { — 3 + 3} \right)^2} \cdot \left( { — 3 + 5} \right) — 1 = 0 — 1 = — 1.\) Следовательно, наименьшее значение функции равно – 1. Ответ: – 1.