Задача 63. Найдите наибольшее значение функции   \({x^5} — 5{x^3} — 20x\)   на отрезке   \(\left[ { — 6;\;1} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 48.

Решение

Область определения функции: \(x \in \,\,R.\)

Найдём производную заданной функции:  \(y’ = 5{x^4} — 15{x^2} — 20\)

Найдём нули производной:

\(5{x^4} — 15{x^2} — 20 = 0\left| {:\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} — 3{x^2} — 4 = 0} \right..\)  

Пусть  \({x^2} = t,\,\,\,\,t \ge 0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t^2} — 3t — 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{t_1} =  — 1,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = 4.\)  

Значение  \({t_1} =  — 1\)  не удовлетворяет условию  \(t \ge 0\).

\({x^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} =  — 2,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)

Значение  \({x_2} = 2 \notin \left[ { — 6;1} \right].\)  Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 6;1} \right]\) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции отрезке \(\left[ { — 6;1} \right]\) будет в точке \(x =  — 2\).

\(y\left( { — 2} \right) = {\left( { — 2} \right)^5} — 5 \cdot {\left( { — 2} \right)^3} — 20 \cdot \left( { — 2} \right) =  — 32 + 40 + 40 = 48.\)

Ответ:  48.