Область определения функции: \(x \in \,\,R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 5{x^4} — 15{x^2} — 20\)
Найдём нули производной:
\(5{x^4} — 15{x^2} — 20 = 0\left| {:\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} — 3{x^2} — 4 = 0} \right..\)
Пусть \({x^2} = t,\,\,\,\,t \ge 0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t^2} — 3t — 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{t_1} = — 1,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = 4.\)
Значение \({t_1} = — 1\) не удовлетворяет условию \(t \ge 0\).
\({x^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 2,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)
Значение \({x_2} = 2 \notin \left[ { — 6;1} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 6;1} \right]\) и ее поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции отрезке \(\left[ { — 6;1} \right]\) будет в точке \(x = — 2\).
\(y\left( { — 2} \right) = {\left( { — 2} \right)^5} — 5 \cdot {\left( { — 2} \right)^3} — 20 \cdot \left( { — 2} \right) = — 32 + 40 + 40 = 48.\)
Ответ: 48.