Задача 64. Найдите наибольшее значение функции \(3{x^5} — 20{x^3} — 54\) на отрезке \(\left[ { — 4;\; — 1} \right]\)
Область определения функции: \(x \in \,\,R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = 15{x^4} — 60{x^2}\) Найдём нули производной: \(15{x^4} — 60{x^2} = 0\left| {:\,15\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} — 4{x^2} = 0} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x^2}\left( {{x^2} — 4} \right) = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — 2,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_3} = 2.\) Значения \({x_1} = 0\) и \({x_3} = 2\) \( \notin \left[ { — 4; — 1} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 4; — 1} \right]\) и ее поведение: Следовательно, наибольшее значение функции отрезке \(\left[ { — 4; — 1} \right]\) будет в точке \(x = — 2\). \(y\left( { — 2} \right) = 3 \cdot {\left( { — 2} \right)^5} — 20 \cdot {\left( { — 2} \right)^3} — 54 = — 96 + 160 — 54 = 10.\) Ответ: 10.