Задача 7. Найдите наименьшее значение функции    \(y = {x^3} — 3{x^2} + 2\)    на отрезке  \(\left[ {1;\;4} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 2.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:    \(y’ = 3{x^2} — 6x.\)

Найдём нули производной:

\(3{x^2} — 6x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)

Значение  \({x_1} = 0 \notin \left[ {1;4} \right].\)  Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;4} \right]\), то есть в точках  \(x = 1,\,\,\,\,x = 4\)  или в точке  \(x = 2:\)

\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 3 \cdot {1^2} + 2 = 0;\)

\(y\left( 4 \right) = {4^3} — 3 \cdot {4^2} + 2 = 18;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^3} — 3 \cdot {2^2} + 2 =  — 2.\)

Следовательно, наименьшее значение функции равно – 2.

Ответ:  – 2.