Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 6x.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} — 6x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)
Значение \({x_1} = 0 \notin \left[ {1;4} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;4} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 4\) или в точке \(x = 2:\)
\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 3 \cdot {1^2} + 2 = 0;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^3} — 3 \cdot {4^2} + 2 = 18;\)
\(y\left( 2 \right) = {2^3} — 3 \cdot {2^2} + 2 = — 2.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно – 2.
Ответ: – 2.