Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} + 18x.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} + 18x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 6,\,\,\,\,\,{x_2} = 0.\)
Значение \({x_2} = 0 \notin \left[ { — 9; — 3} \right].\) Наибольшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ { — 9; — 3} \right]\), то есть в точках \(x = — 9,\,\,\,\,x = — 3\) или в точке \(x = — 6:\)
\(y\left( { — 9} \right) = {\left( { — 9} \right)^3} + 9 \cdot {\left( { — 9} \right)^2} + 19 = 19;\)
\(y\left( { — 3} \right) = {\left( { — 3} \right)^3} + 9 \cdot {\left( { — 3} \right)^2} + 19 = 73;\)
\(y\left( { — 6} \right) = {\left( { — 6} \right)^3} + 9 \cdot {\left( { — 6} \right)^2} + 19 = 127.\)
Следовательно, наибольшее значение функции равно 127.
Ответ: 127.