Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{x — 5}} + {\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {{e^{x — 5}}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 2} \right){e^{x — 5}} + {\left( {x — 2} \right)^2}{e^{x — 5}} = \)
\( = {e^{x — 5}}\left( {x — 2} \right)\left( {2 + x — 2} \right) = {e^{x — 5}}\left( {x — 2} \right)x.\)
Найдем нули производной:
\({e^{x — 5}}\left( {x — 2} \right)x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)
Определим знаки производной функции и её поведение:
Следовательно, точка минимума \(x = 2.\)
Ответ: 2.