Задача 14. Найдите наибольшее значение функции \(y = \left( {8 — x} \right){e^{x — 7}}\) на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {8 — x} \right)^\prime }{e^{x — 7}} + \left( {8 — x} \right){\left( {{e^{x — 7}}} \right)^\prime } = — {e^{x — 7}} + \left( {8 — x} \right){e^{x — 7}} = {e^{x — 7}}\left( { — 1 + 8 — x} \right) = {e^{x — 7}}\left( {7 — x} \right) = 0.\) Найдем нули производной: \({e^{x — 7}}\left( {7 — x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,7 — x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 7.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\) будет в точке \(x = 7.\) \(y\left( 7 \right) = \left( {8 — 7} \right){e^{7 — 7}} = 1.\) Ответ: 1.