Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {8 — x} \right)^\prime }{e^{x — 7}} + \left( {8 — x} \right){\left( {{e^{x — 7}}} \right)^\prime } = — {e^{x — 7}} + \left( {8 — x} \right){e^{x — 7}} = {e^{x — 7}}\left( { — 1 + 8 — x} \right) = {e^{x — 7}}\left( {7 — x} \right) = 0.\)
Найдем нули производной:
\({e^{x — 7}}\left( {7 — x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,7 — x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 7.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\) будет в точке \(x = 7.\)
\(y\left( 7 \right) = \left( {8 — 7} \right){e^{7 — 7}} = 1.\)
Ответ: 1.