Задача 15. Найдите наибольшее значение функции \(y = \left( {x — 9} \right){e^{10 — x}}\) на отрезке \(\left[ { — 11;11} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {x — 9} \right)^\prime }{e^{10 — x}} + \left( {x — 9} \right){\left( {{e^{10 — x}}} \right)^\prime } = {e^{10 — x}} + \left( {x — 9} \right){e^{10 — x}}{\left( {10 — x} \right)^\prime } = \) \( = {e^{10 — x}} — \left( {x — 9} \right){e^{10 — x}} = {e^{10 — x}}\left( {1 — x + 9} \right) = {e^{10 — x}}\left( {10 — x} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{10 — x}}\left( {10 — x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,10 — x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 10.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 11;11} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 11;11} \right]\) будет в точке \(x = 10.\) \(y\left( {10} \right) = \left( {10 — 9} \right){e^{10 — 10}} = 1.\) Ответ: 1.