Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{x — 2}} + {\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {{e^{x — 2}}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 2} \right){e^{x — 2}} + {\left( {x — 2} \right)^2}{e^{x — 2}} = \)
\( = {e^{x — 2}}\left( {x — 2} \right)\left( {2 + x — 2} \right) = {e^{x — 2}}\left( {x — 2} \right)x.\)
Найдем нули производной:
\({e^{x — 2}}\left( {x — 2} \right)x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)
Значение \({x_1} = 0 \notin \left[ {1;4} \right].\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {1;4} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {1;4} \right]\) будет в точке \(x = 2.\)
\(y\left( 2 \right) = {\left( {2 — 2} \right)^2}{e^{2 — 2}} = 0.\)
Ответ: 0.