Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^x} + {\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 2} \right){e^x} + {\left( {x — 2} \right)^2}{e^x} = {e^x}\left( {x — 2} \right)\left( {2 + x — 2} \right) = {e^x}\left( {x — 2} \right)x.\)
Найдем нули производной:
\({e^x}\left( {x — 2} \right)x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\)
Значение \({x_2} = 2 \notin \left[ { — 5;1} \right].\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 5;1} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 5;1} \right]\) будет в точке \(x = 0.\)
\(y\left( 0 \right) = {\left( {0 — 2} \right)^2}{e^0} = 4.\)
Ответ: 4.