Задача 21. Найдите наибольшее значение функции \(y = {\left( {x — 2} \right)^2}{e^x}\) на отрезке \(\left[ { — 5;1} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^x} + {\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 2} \right){e^x} + {\left( {x — 2} \right)^2}{e^x} = {e^x}\left( {x — 2} \right)\left( {2 + x — 2} \right) = {e^x}\left( {x — 2} \right)x.\) Найдем нули производной: \({e^x}\left( {x — 2} \right)x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\) Значение \({x_2} = 2 \notin \left[ { — 5;1} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 5;1} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 5;1} \right]\) будет в точке \(x = 0.\) \(y\left( 0 \right) = {\left( {0 — 2} \right)^2}{e^0} = 4.\) Ответ: 4.