Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {x + 9} \right)^\prime }{e^{9 — x}} + \left( {x + 9} \right){\left( {{e^{9 — x}}} \right)^\prime } = {e^{9 — x}} + \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}} \cdot {\left( {9 — x} \right)^\prime } = \)
\( = {e^{9 — x}} — \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}\left( {1 — x — 9} \right) = {e^{9 — x}}\left( { — x — 8} \right).\)
Найдем нули производной:
\({e^{9 — x}}\left( { — x — 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( { — x — 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 8.\)
Определим знаки производной функции и её поведение:
Следовательно, точка максимума \(x = — 8.\)
Ответ: – 8.