Задача 5. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}}\)
ОТВЕТ: — 8.
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {x + 9} \right)^\prime }{e^{9 — x}} + \left( {x + 9} \right){\left( {{e^{9 — x}}} \right)^\prime } = {e^{9 — x}} + \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}} \cdot {\left( {9 — x} \right)^\prime } = \) \( = {e^{9 — x}} — \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}\left( {1 — x — 9} \right) = {e^{9 — x}}\left( { — x — 8} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{9 — x}}\left( { — x — 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( { — x — 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 8.\) Определим знаки производной функции и её поведение: Следовательно, точка максимума \(x = — 8.\) Ответ: – 8.