Задача 5. Найдите точку максимума функции    \(y = \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: — 8.

Решение

Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)

Найдем производную заданной функции:

\(y’ = {\left( {x + 9} \right)^\prime }{e^{9 — x}} + \left( {x + 9} \right){\left( {{e^{9 — x}}} \right)^\prime } = {e^{9 — x}} + \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}} \cdot {\left( {9 — x} \right)^\prime } = \)

\( = {e^{9 — x}} — \left( {x + 9} \right){e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}\left( {1 — x — 9} \right) = {e^{9 — x}}\left( { — x — 8} \right).\)

Найдем нули производной:

\({e^{9 — x}}\left( { — x — 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( { — x — 8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  — 8.\)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума \(x =  — 8.\)

Ответ:  – 8.