Задача 6. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {4{x^2} — 16x + 16} \right){e^{x — 9}}\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {4{x^2} — 16x + 16} \right)^\prime }{e^{x — 9}} + \left( {4{x^2} — 16x + 16} \right){\left( {{e^{x — 9}}} \right)^\prime } = \left( {8x — 16} \right){e^{x — 9}} + \left( {4{x^2} — 16x + 16} \right){e^{x — 9}} = \) \( = {e^{x — 9}}\left( {8x — 16 + 4{x^2} — 16x + 16} \right) = {e^{x — 9}}\left( {4{x^2} — 8x} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{x — 9}}\left( {4{x^2} — 8x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,4{x^2} — 8x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 2.\) Определим знаки производной функции и её поведение: Следовательно, точка минимума \(x = 2.\) Ответ: 2.