Задача 7. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {2{x^2} — 30x + 30} \right){e^{x + 9}}\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {2{x^2} — 30x + 30} \right)^\prime }{e^{x + 9}} + \left( {2{x^2} — 30x + 30} \right){\left( {{e^{x + 9}}} \right)^\prime } = \left( {4x — 30} \right){e^{x + 9}} + \left( {2{x^2} — 30x + 30} \right){e^{x + 9}} = \) \( = {e^{x + 9}}\left( {4x — 30 + 2{x^2} — 30x + 30} \right) = {e^{x + 9}}\left( {2{x^2} — 26x} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{x + 9}}\left( {2{x^2} — 26x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} — 26x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 13.\) Определим знаки производной функции и её поведение: Следовательно, точка максимума \(x = 0.\) Ответ: 0.