Задача 8. Найдите точку максимума функции   \(y = \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){e^{36 — x}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)

Найдем производную заданной функции:

\(y’ = {\left( {2{x^2} — 10x + 10} \right)^\prime }{e^{36 — x}} + \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){\left( {{e^{36 — x}}} \right)^\prime } = \)

\( = \left( {4x — 10} \right){e^{36 — x}} + \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){e^{36 — x}} \cdot {\left( {36 — x} \right)^\prime } = \left( {4x — 10} \right){e^{36 — x}} — \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){e^{36 — x}} = \)

\( = {e^{36 — x}}\left( {4x — 10 — 2{x^2} + 10x — 10} \right) = {e^{36 — x}}\left( { — 2{x^2} + 14x — 20} \right).\)

Найдем нули производной:

\({e^{36 — x}}\left( { — 2{x^2} + 14x — 20} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, — 2{x^2} + 14x — 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 5.\)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума \(x = 5.\)

Ответ:  5.