Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {2{x^2} — 10x + 10} \right)^\prime }{e^{36 — x}} + \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){\left( {{e^{36 — x}}} \right)^\prime } = \)
\( = \left( {4x — 10} \right){e^{36 — x}} + \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){e^{36 — x}} \cdot {\left( {36 — x} \right)^\prime } = \left( {4x — 10} \right){e^{36 — x}} — \left( {2{x^2} — 10x + 10} \right){e^{36 — x}} = \)
\( = {e^{36 — x}}\left( {4x — 10 — 2{x^2} + 10x — 10} \right) = {e^{36 — x}}\left( { — 2{x^2} + 14x — 20} \right).\)
Найдем нули производной:
\({e^{36 — x}}\left( { — 2{x^2} + 14x — 20} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, — 2{x^2} + 14x — 20 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 5.\)
Определим знаки производной функции и её поведение:
Следовательно, точка максимума \(x = 5.\)
Ответ: 5.