Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x — 7} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{x — 8}} + {\left( {x — 7} \right)^2}{\left( {{e^{x — 8}}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 7} \right){e^{x — 8}} + {\left( {x — 7} \right)^2}{e^{x — 8}} = \)
\( = {e^{x — 8}}\left( {x — 7} \right)\left( {2 + x — 7} \right) = {e^{x — 8}}\left( {x — 7} \right)\left( {x — 5} \right).\)
Найдем нули производной:
\({e^{x — 8}}\left( {x — 7} \right)\left( {x — 5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x — 7} \right)\left( {x — 5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 5,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 7.\)
Определим знаки производной функции и её поведение:
Следовательно, точка максимума \(x = 5.\)
Ответ: 5.