Задача 9. Найдите точку максимума функции   \(y = {\left( {x — 7} \right)^2}{e^{x — 8}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Найдем производную заданной функции:

\(y’ = {\left( {{{\left( {x — 7} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{x — 8}} + {\left( {x — 7} \right)^2}{\left( {{e^{x — 8}}} \right)^\prime } = 2\left( {x — 7} \right){e^{x — 8}} + {\left( {x — 7} \right)^2}{e^{x — 8}} = \)

\( = {e^{x — 8}}\left( {x — 7} \right)\left( {2 + x — 7} \right) = {e^{x — 8}}\left( {x — 7} \right)\left( {x — 5} \right).\)

Найдем нули производной:

\({e^{x — 8}}\left( {x — 7} \right)\left( {x — 5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x — 7} \right)\left( {x — 5} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 5,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 7.\)

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума \(x = 5.\)

Ответ:  5.