а) Воспользуемся формулой синуса суммы \(\sin\left( {{\rm{\alpha }} + {\rm{\beta }}} \right) = \sin{\rm{\alpha }}\cos {\rm{\beta }} + \cos {\rm{\alpha }}\sin {\rm{\beta }}\) и формулой приведения \(\sin \left( {{\rm{\pi }}-x} \right) = {\sin}x.\)
\(2\sin \left( {x + \dfrac{{\rm{\pi }}}{4}} \right)-2\sqrt 2 \sin \left( {{\rm{\pi }}-x} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\left( {{\sin}x\cos \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + \cos x\sin \dfrac{{\rm{\pi }}}{4}} \right)-2\sqrt 2 {\sin}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot {\sin}x + 2 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \cos x-2\sqrt 2 {\sin}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \cos x-\sqrt 2{\sin}x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,x = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + {\rm{\pi }}k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {{\rm{3\pi }};\dfrac{{{\rm{9\pi }}}}{2}} \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + {\rm{3\pi }} = \dfrac{{{\rm{13\pi }}}}{4};\;\;\;x = \dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + 4{\rm{\pi }} = \dfrac{{{\rm{17\pi }}}}{4}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{{\rm{\pi }}}{4} + {\rm{\pi }}k;\,\,\,\,k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{{\rm{13\pi }}}}{4};\,\,\,\,\,\dfrac{{{\rm{17\pi }}}}{4}.\)